单变量微积分 学习笔记

本文是本网站的总结

微积分定理

中值定理

中值定理:函数$y=f(x)$满足:

  • $f(x)$在$[a,b]$上连续
  • $f(x)$在$(a,b)$上可导
    那么在$(a,b)$上,至少存在一个点$c$,使得
    $$
    \begin{equation}
    f’(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}
    \end{equation}
    $$

    $$
    \begin{equation}
    f(b)-f(a)=f’(c)(b-a)
    \end{equation}
    $$

与此相关的是函数的增减性和导数的关系。

极值定理

极值定理:若$y=f(x)$在$[a,b]$上有定义且连续,则在$[a,b]$上存在点$c,d$,使得$f(c)\geq f(x)\geq f(d), x \in [a, b]$

与此相关的是函数的极值和导数的关系。

介值定理

介值定理:如果在$[a,b]$上$y=f(x)$有定义且连续,那么函数值都在$f(a)$和$f(b)$之间;也就是说,如果$K$是$f(a)$和$f(b)$之间的任何一个数,那么在$(a,b)$内至少存在一点$c$,使得$f(c)=K$。

与此相关的是函数根存在定理,即勘根定理

隐函数

定义

如果方程$F(x,y)=0$能确定$y$是$x$的函数,那么称这种方式表示的函数是隐函数。

求导

将$y$看成$x​$的函数,对整个式子求导即可。

$$
x^2+y^2+2x=0
$$
两边求导,得
$$
2x+2yy’+2=0
$$

$$
y’=\frac{-x-1}{y}
$$

求导应用

1、对二次曲线方程求导
2、对显函数两边求$\log$降幂后求导

高阶导数

$$
y^{(n)}=(-1)^nn!x^{-(n+1)}
$$

牛顿迭代求根

$$
x_2=x_1-\frac{f(x_1)}{f’(x_1)}
$$
如此进行下去直到无定义为止。

微分

切线逼近

$$
\begin{equation}
f(x+dx)\cong f(x)+dy
\end{equation}
$$
其中$dy=f’(x)dx​$,即
$$
\begin{equation}
f(x+dx)\cong f(x)+f’(x)dx
\end{equation}
$$

积分

不定积分

$$
\int f(x)dx=F(x)
$$

幂函数积分:
$$
\begin{equation}
\int x^ndx=\frac{x^{n+1}}{n+1},\quad n\neq -1
\end{equation}
$$

复合函数
$$
\begin{equation}
\int [f(x)^n]f’(x)dx=\frac{[f(x)]^{n+1}}{n+1},\quad n\neq -1
\end{equation}
$$

运算法则

$$
\begin{equation}
\int cf(x)dx=c\int f(x)dx
\end{equation}
$$

$$
\begin{equation}
\int [f(x)+g(x)]dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx
\end{equation}
$$

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