Bzoj 2165(倍增DP+矩阵快速幂)

Bzoj 2165

本题是个倍增DP,在图上做。这个图给的明显是个分层图,我们逆向运用,分层图转成一个图。
然后就可以设$dp(p,i,j)$为坐了$p$次电梯$i$到$j$能到达的最高楼层。则
$dp(p,i,j)=max(dp(p/2, i, k)+dp(p / 2, k, j))$
那么这是一个倍增DP形式,我们也可以设$2^p$的状态。
我们发现邻接矩阵自乘就是这个方程的转移,所以矩阵快速幂上就行
如果第一行有一个$\geq m$,那么不用再DP下去
然后求答案就贪心像倍增LCA那样补,同时也要一直判断第一行是否有一个$\geq m$,有就说明当前不能乘
第一行有一个$\geq m$说明当前已经到达题目要求
注意修改矩阵乘法的地方所有值都应该小于$m$

倍增DP的思想,其实ST表、LCA的pre数组求法都是这种思路。

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#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<vector>
#include<set>
#include<cmath>
#define ms(i, j) memset(i, j, sizeof i)
#define LL long long
#define db double
#define fir first
#define sec second
#define mp make_pair
using namespace std;
namespace flyinthesky {
const int MAXN = 105;
const LL ZINF = 2000000000000000001ll;
int n, cnt;
LL m;
struct matrix {
LL a[MAXN][MAXN];
matrix() {for (int i = 1; i <= n; ++i) for (int j = 1; j <= n; ++j) a[i][j] = 0;}
void init() {for (int i = 1; i <= n; ++i) for (int j = 1; j <= n; ++j) a[i][j] = -ZINF;}
}f[MAXN];
matrix mul(matrix a, matrix b) {
matrix ret;
ret.init();
for (int i = 1; i <= n; ++i)
for (int j = 1; j <= n; ++j)
for (int k = 1; k <= n; ++k) ret.a[i][j] = min(m, max(ret.a[i][j], a.a[i][k] + b.a[k][j]));
return ret;
}
int check(matrix a) {
for (int i = 1; i <= n; ++i) if (a.a[1][i] >= m) return false;
return true;
}
void clean() {
cnt = 1;
}
int solve() {
clean();
scanf("%d%lld", &n, &m);
for (int i = 1; i <= n; ++i)
for (int j = 1; j <= n; ++j) scanf("%lld", &f[1].a[i][j]), f[1].a[i][j] = (f[1].a[i][j] ? f[1].a[i][j] : -ZINF);
while (1) {
matrix tmp = mul(f[cnt], f[cnt]);
if (check(tmp)) f[++cnt] = tmp; else break ;
}
LL ans = 1;
matrix whw = f[1];
for (int i = cnt; i > 0; --i) {
matrix tmp = mul(whw, f[i]);
if (check(tmp)) whw = tmp, ans += (1ll << (i - 1));
}
printf("%lld\n", ans + 1);
return 0;
}
}
int main() {
int T; scanf("%d", &T);
while (T--) flyinthesky::solve();
return 0;
}
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